Question

【題目】等比數(shù)列滿足：，且，，成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若不等式成立的正整數(shù)恰有4個(gè)，求正整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；

（2）結(jié)合條件對(duì)n進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)利用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)得，利用取特值和做商法判斷出的單調(diào)性，再判斷出的單調(diào)性，根據(jù)條件即可求出正整數(shù)p的值．

（1）已知等比數(shù)列滿足：，設(shè)公比為，且，，成等差數(shù)列，

∴，得，解得，或（舍）.

所以，即；

（2）由（1）得，，

∵，∴當(dāng)n＝1、2時(shí)，上式一定成立；

當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)＝，

當(dāng)n＝3時(shí)，＝＝，

當(dāng)n＝4時(shí)，＝＝4.8，

當(dāng)n＝5時(shí)，＝，

當(dāng)n＝6時(shí)，，…

設(shè)bn＝，則＝＝＝2（1﹣），

當(dāng)n≥4時(shí)，2（1﹣）≥，則＞1，

∴當(dāng)n≥4時(shí)，bn隨著n的增大而增大，則隨著n的增大而減小，

∵不等式成立的正整數(shù)恰有4個(gè)，即n＝1、2、4、5，

∴正整數(shù)的值為3．