Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=2an-1（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足nbn+1-（n+1）bn=n（n+1）（n∈N*），且b1=1．

（1）證明數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

（2）若cn=（-1）n-1，求數(shù)列{cn}的前n項和T2n；

（3）若dn=an，數(shù)列{dn}的前n項和為Dn，對任意的n∈N*，都有Dn≤nSn-a，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，an=2n-1，bn=n2 （2） （3）（-∞，0]

【解析】

（1）Sn＝2an﹣1（n∈N*），n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化為：an＝2an﹣1．利用等比數(shù)列的通項公式可得an．數(shù)列{bn}滿足nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*），化為：1，且b1＝1．即可證明數(shù)列{}為等差數(shù)列，利用通項公式可得bn．

（2）cn＝（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1，利用裂項求和方法即可得出．

（3）dn＝ann2n﹣1，利用錯位相減法可得數(shù)列{dn}的前n項和為Dn，又Sn＝2n﹣1．代入對任意的n∈N*，都有Dn≤nSn﹣a，即可得出．

（1）Sn＝2an﹣1（n∈N*），n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），化為：an＝2an﹣1．

n＝1時，a1＝2a1﹣1，解得a1＝1．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為2．

∴an＝2n﹣1．

數(shù)列{bn}滿足nbn+1﹣（n+1）bn＝n（n+1）（n∈N*），

化為：1，且b1＝1．

∴數(shù)列{}為等差數(shù)列，公差為1，首項為1．

∴1+n﹣1＝n，

bn＝n2．

（2）cn＝（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1（﹣1）n﹣1，

∴數(shù)列{cn}的前n項和T2n

．

（3）dn＝ann2n﹣1，

數(shù)列{dn}的前n項和為Dn＝1+2×2+3×22+……+n2n﹣1，

2Dn＝2+2×22+……+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

∴﹣Dn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n2nn2n，

解得Dn＝（n﹣1）2n+1．

Sn＝2an﹣1＝2n﹣1．

對任意的n∈N*，都有Dn≤nSn﹣a，

∴a≤n（2n﹣1）﹣（n﹣1）2n﹣1＝2n﹣n﹣1．

令dn＝2n﹣n﹣1．則dn+1﹣dn＝2n+1﹣（n+1）﹣1﹣（2n﹣n﹣1）＝2n﹣1＞0．

∴數(shù)列{dn}單調(diào)遞增．

∴a≤（dn）min＝d1＝0．

∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]．