Question

【題目】已知圓，直線:x=6，圓與軸相交于點(diǎn)（如圖），點(diǎn)P(-1,2)是圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與相交于點(diǎn)．

（1）若過點(diǎn)P的直線與圓相交所得弦長(zhǎng)等于，求直線的方程；

（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）-3

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)到直線距離公式可得圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為， 由 解得，又過點(diǎn)P且與軸垂直的直線顯然符合要求，故滿足題意的直線應(yīng)為兩條；

（2）方法1：聯(lián)立 得點(diǎn) ，問題得證；

方法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分 ， ，兩組情況討論得證

；方法3：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 則，則由三點(diǎn)A、Q、C三點(diǎn)共線及直線的方程得點(diǎn)，表示出 ，可證為定值

試題解析：
（1）因直線與圓相交所得弦長(zhǎng)等于，所以圓心到直線的距離

設(shè)直線的方程為，即

由 解得

又過點(diǎn)P且與軸垂直的直線顯然符合要求

所以直線的方程是或

（2）方法1：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為

由 解得

從而得點(diǎn)

所以

方法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

若 ，則

所以

當(dāng)時(shí)，同理可得

所以為定值

方法3：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 則

則三點(diǎn)A、Q、C三點(diǎn)共線及直線的方程得點(diǎn)