Question

在如圖所示的多面體中，平面平面，是邊長為2的正三角形，
∥，且.

（1）求證：；
（2）求多面體的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以多面體為幾何背景，考查線面垂直、線線垂直、面面垂直及多面體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問，利用在中的邊長得到，利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)得；第二問，利用線面垂直平面PAC，得，，而利用線面垂直的判定，得到線面垂直平面BCPM，所以AD是多面體的高，利用體積公式求體積.
試題解析：（1），

又因平面平面，平面平面平面,
平面,.             6分
（2）作于點(diǎn).由（1）知平面，
又∥，且
四邊形是上、下底分別為2、4，高為2的直角梯形，其面積為6.
又，平面，.
故多面體的體積為.      13分