Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求四面體的體積；
（3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？請證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用勾股定理得到，再結(jié)合并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）先證明平面，從而得到為三棱錐的高，并計算的面積作為三棱錐的底面積。最后利用錐體的體積公式計算四面體的體積；（3）連接交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到為的中點(diǎn)，然后取的中點(diǎn)，構(gòu)造底邊的中位線，得到，結(jié)合直線與平面平行的判定定理得到平面.
試題解析：（1）在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043447508545.png" style="vertical-align:middle;" />，，，，
，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043447554568.png" style="vertical-align:middle;" />，且，平面，平面，平面；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043447617422.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面，，
又，且，平面，平面，
平面，即為三棱錐的高，
在等腰梯形中可得，所以，
的面積為，
所以四面體的體積為；
（3）線段上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)時，有平面，

證明如下：連接，與交于點(diǎn)，連接，
四邊形為正方形，所以為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面，
因此線段上存在點(diǎn)，使得平面成立.