Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，其傾斜角為．

（Ⅰ）證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并寫(xiě)出直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析，（是參數(shù)）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化將直線方程化為普通方程，從而可求出定點(diǎn)，再將直線方程寫(xiě)成參數(shù)方程的形式即可.

（2）將曲線化為直角坐標(biāo)方程，再將直線的參數(shù)方程代入曲線方程，整理成關(guān)于的一元二次方程的形式，利用韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義即可求解.

（Ⅰ）由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式

可得直線的方程為：，即

故直線恒過(guò)定點(diǎn)

所以直線的參數(shù)方程為（是參數(shù)）

（Ⅱ）由曲線的參數(shù)方程（是參數(shù)）

得曲線的普通方程：，即

將代入上式整理得：

設(shè)兩根為，則

由兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，故

故的值為．