Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的最大值；

（2）若存在正實數(shù)對，使得當時，能成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）4（2）

【解析】

（1）先求導，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出的范圍，

（2）根據(jù)題意可得，因此原問題轉(zhuǎn)化為存在正實數(shù)使得等式成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍．

解析：（1）由題意得，

函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)恒成立，

故.

因為（等號成立當且僅當即）

所以（經(jīng)檢驗滿足題目），所以實數(shù)的最大值為4.

（2）由題意得，則

，因此原問題轉(zhuǎn)化為：

存在正數(shù)使得等式成立.

整理并分離得，記，

要使得上面的方程有解，下面求的值域，

，故在上是單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，

所以，

又，故當，，

綜上所述，，

即實數(shù)的取值范圍為.