Question

【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，.

（1）證明：平面平面；

（2），分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角的平面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為

【解析】

（1）先通過(guò)線面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；

（2）分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系，即可計(jì)算出的坐標(biāo)從而位置可確定.

（1）證明：因?yàn)?/span>，，，

所以，即.

又因?yàn)?/span>，，所以，

，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）解：連接，因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以.

由（1）知，平面平面，所以平面.

以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則平面的一個(gè)法向量是，，，.

設(shè)，，

，，

代入上式得，，，所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，

由，得.

令，得.

因?yàn)槎�面�?/span>的平面角的大小為，

所以，即，解得.

所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為.