Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在A（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：g（x）≥

1

2

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，確定切線的斜率，盡快求函數(shù)f（x）在A（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系進行求解即可；
（Ⅲ）令h（a）=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，則h（a）≥

(x-lnx)2

2

，令Q（x）=x-lnx，求出Q（x）_min=Q（1）=1，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=

1

x

，…（1分）
∴f′（1）=1，…（2分）
故切線方程為y=x-1；…（4分）
（Ⅱ）解：∵g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，
∴g′（x）=2（x-

a

x

+

lnx

x

-a），…（5分）
令F（x）=x-

a

x

+

lnx

x

-a，則y=F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
F′（x）=

x2-lnx+a+1

x2

，則當x≥1時，x²-lnx+a+1≥0恒成立，
即當x≥1時，a≥-x²+lnx-1恒成立．…（6分）
令G（x）=-x²+lnx-1，則當x≥1時，G′（x）=

1-2x2

x

＜0，
故G（x）=-x²+lnx-1在[1，+∞）上單調(diào)遞減，從而G（x）_max=G（1）=-2，（7分）
故a≥-2．…（8分）
（Ⅲ）證明：g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，
令h（a）=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，則h（a）≥

(x-lnx)2

2

．…（9分）
令Q（x）=x-lnx，則Q′（x）=

x-1

x

，顯然Q（x）=在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，…（10分）
則Q（x）_min=Q（1）=1，…（11分）
則g（x）=h（a）≥

1

2

．…（12分）

點評：本題主要考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性與最值，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵，屬于中檔題．