Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-a（x+2）-b（e為自然對(duì)數(shù)的底，a，b∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為0，求b的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的最小值為0求出b的值，令h（x）=-x-lnx，求出 h′（x）．判斷h（x）的單調(diào)性，求極值點(diǎn)，繼而得到答案．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x-a，
若a≤0，則f'（x）≥0恒成立，則f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增；
若a＞0，由f'（x）＞0解得x＞lna，
f（x）在區(qū)間（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，lna）上單調(diào)遞減．
（2）若a≤0，則f'（x）≥0恒成立，則f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）不存在最小值；
若a＞0，由（1）f（x）在區(qū)間（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，lna）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的最小值是f（lna）=a-a（lna+2）-b，因此b=-a-alna，
記h(x)=-x-xlnx，h′(x)=-1-lnx-x•

1

x

=-lnx-2，
由h'（x）=0⇒x=e^-2，
且當(dāng)0＜x＜e^-2時(shí)，h'（x）＞0，
且當(dāng)x＞e^-2時(shí)，h'（x）＜0，
所以h（x）的最大值是h（e^-2）=e^-2，即b的最大值是e^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，要注意求極值時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于0根的左右單調(diào)性的判斷．考查了分析解決問(wèn)題的能力．