Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）在題目給出的數(shù)列遞推式中，分別取n=1，2，得到a₂和a₁，a₃和a₁的關(guān)系，結(jié)合a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列即可列式求得a₁的值；
（2）在數(shù)列遞推式中，取n=n+1得到另一遞推式，作差后得到an+2=3an+1+2n+1，驗(yàn)證可知n=1時(shí)該等式成立，由此得到an+1+2n+1=3(an+2n)．說(shuō)明數(shù)列{an+2n}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得
an+2n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求．

解答： 解：（1）在2S_n=a_n+1-2^n+l+1中，
令n=1得：2S₁=a2-22+1，即a₂=2a₁+3  ①
令n=2得：2S2=a3-23+1，即a₃=6a₁+13  ②
又2（a₂+5）=a₁+a₃  ③
聯(lián)立①②③得：a₁=1；
（2）由2S_n=a_n+1-2^n+l+1，得：
2Sn+1=an+2-2n+2+1，
兩式作差得an+2=3an+1+2n+1，
又a₁=1，a₂=5滿足a2=3a1+21，
∴an+1=3an+2n對(duì)n∈N^*成立．
∴an+1+2n+1=3(an+2n)．
∴an+2n=3n．
則an=3n-2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．