Question

已知sin(2α-β)=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈(

π

2

，π)，β∈(-

π

2

，0)．求sinα的值．

Answer 1

分析：由α和β的范圍，求出2α-β的范圍，再根據(jù)sin（2α-β）的值大于0，得到2α-β的具體范圍，可得的cos（2α-β）的值大于0，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cos（2α-β）的值，同時由sinβ的值及β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosβ的值，把cos2α式子中的角2α變?yōu)椋?α-β）+β，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各種的值代入求出cos2α的值，再由二倍角的余弦函數(shù)公式化簡cos2α，列出關于sinα的方程，由α的范圍，開方即可求出sinα的值．

解答：解：∵

π

2

＜α＜π，∴π＜2α＜2π，
又-

π

2

＜β＜0，∴0＜-β＜

π

2

，
∴π＜2α-β＜

5π

2

，又sin(2α-β)=

3

5

＞0，
∴2π＜2α-β＜

5π

2

，cos(2α-β)=

4

5

，
又-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

12

13

，
∴cosβ=

5

13

，
∴cos2α=cos[（2α-β）+β]

=cos(2α-β)cosβ-sin(2α-β)sinβ = 4 5 × 5 13 - 3 5 ×(- 12 13 )= 56 65 ，

∵cos2α=1-2sin²α，∴sin2α=

9

130

，
又α∈(

π

2

，π)，
∴sinα=

3 130

130

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．