Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),傾斜角),曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù),)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。

（1）寫出曲線的普通方程和直線的極坐標(biāo)方程;

（2）若直線與曲線恰有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)的極坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1），，. （2）

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;（2）利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果．

（1）由曲線的參數(shù)方程，得.

∵，∴曲線的普通方程為.

∵直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為傾斜角），

∴直線的傾斜角為，且過原點(diǎn)（極點(diǎn)）.

∴直線的極坐標(biāo)方程為，.

（2）由（Ⅰ），可知曲線為半圓弧.

若直線與曲線恰有一個公共點(diǎn)，則直線與半圓弧相切.

設(shè)，由題意，得.故.

而，∴.

∴點(diǎn)的極坐標(biāo)為.