Question

已知△ABC，點(diǎn)O滿足

OC

=2

BO

，過(guò)點(diǎn)O的直線與線段AB及AC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)

AE

=λ

AB

，

AF

=μ

AC

，則8λ+μ的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：由三角形法則可得

AO

=

2

3

AB

+

1

3

AC

，由E、O、F三點(diǎn)共線，得

AO

=m

AE

+(1-m)

AF

=mλ

AB

+（1-m）μ

AC

，由

mλ= 2 3 (1-m)μ= 1 3

消掉m得，

2

3λ

+

1

3μ

=1，從而8λ+μ=（8λ+μ）•(

2

3λ

+

1

3μ

)，利用基本不等式可求答案．

解答： 解：∵

OC

=2

BO

，
∴

AO

=

AB

+

BO

=

AB

+

1

3

BC

=

AB

+

1

3

(

AC

-

AB

)
=

2

3

AB

+

1

3

AC

，
由E、O、F三點(diǎn)共線，得

AO

=m

AE

+(1-m)

AF

=mλ

AB

+（1-m）μ

AC

，
∴

mλ= 2 3 (1-m)μ= 1 3

，消掉m得，

2

3λ

+

1

3μ

=1①，（

2

3

＜λ＜1，μ＞1），
∴8λ+μ=（8λ+μ）•(

2

3λ

+

1

3μ

)=

17

3

+（

2μ

3λ

+

8λ

3μ

）≥

17

3

+2

2μ 3λ • 8λ 3μ

=

25

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

2μ

3λ

=

8λ

3μ

②時(shí)取等號(hào)，由①②可解得μ=

5

3

，λ=

5

6

，
故答案為：

25

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量加法的三角形法則、三點(diǎn)共線的條件及基本不等式求最值，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．