Question

如圖，C、D是兩個小區(qū)所在地，C、D到一條公路AB的垂直距離分別為CA=1km，DB=2km，A、B間的距離為3km，某公交公司要在A、B之間的某點(diǎn)N處建造一個公交站點(diǎn)，使得N對C、D兩個小區(qū)的視角∠CND最大，則N處與A處的距離為

 

km．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的求值

分析：設(shè)出NA的長度x，把∠CNA與∠DNB的正切值用含有x的代數(shù)式表示，最后把∠CND的正切值用含有x的代數(shù)式表示，換元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N對C、D兩個小區(qū)的視角∠CND最大時的x值，即可確定點(diǎn)N的位置．

解答： 解：設(shè)NA=x，∠CNA=α，∠DNB=β．
依題意有tanα=

1

x

，tanβ=

2

3-x

，
tan∠CND=tan[π-（α+β）]=-tan（α+β）=-

1 x + 2 3-x

1- 1 x • 2 3-x

=

x+3

x2-3x+2

，
令t=x+3，由0＜x＜3，得3＜t＜6，
則tan∠CND=

t

t2-9t+20

=

1

t+ 20 t -9

∵4

5

≤t+

20

t

＜3+

20

3

∴t=2

5

，即x=2

5

-3時取得最大角，
故N處與A處的距離為（2

5

-3）km．
故答案為：2

5

-3．

點(diǎn)評：本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是中檔題．