Question

設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；
（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）a的最小值為;（2）．

試題分析：（1）根據(jù)f (x)在上為減函數(shù)，得到在上恒成立．轉(zhuǎn)化成時，．
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定其最大值為．
（2）應(yīng)用“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，對命題進行一系列的轉(zhuǎn)化，“若存在使成立”等價于“當(dāng)時，有”．
由（1）問題等價于：“當(dāng)時，有”．
討論①當(dāng)時，②當(dāng)<時， ，作出結(jié)論.
（1）由已知得x＞0，x≠1．
因f (x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．      1分
所以當(dāng)時，．
又，            2分
故當(dāng)，即時，．
所以于是，故a的最小值為．                  4分
（2）命題“若存在使成立”等價于
“當(dāng)時，有”．                   5分
由（1），當(dāng)時，，．
問題等價于：“當(dāng)時，有”．                  6分
①當(dāng)時，由（1），在上為減函數(shù)，
則=，故．                  8分
②當(dāng)<時，由于在上的值域為
（�。�，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，
于是，，矛盾．                 10分
（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，
存在唯一，使，且滿足：
當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；
所以，，                12分
所以，，與矛盾．         13分
綜上，得                              14分