Question

【題目】如圖，正方體中，，，，分別是，，，的中點．

（Ⅰ）求證：，，，四點共面；

（Ⅱ）求證：平面∥平面；

（Ⅲ）畫出平面與正方體側面的交線（需要有必要的作圖說明、保留作圖痕跡）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）要證，，，四點共面，只需證明∥；

（Ⅱ）只需證明∥平面，∥平面即可；

（Ⅲ）因為∥平面，平面，設平面平面，由線面平行的性質定理知∥，過作的平行線即可.

（Ⅰ）因為分別是，的中點，所以為的中位線，所以∥，

又四邊形是矩形，所以∥，所以∥，故，，，四點共面；

（Ⅱ）由已知，為的中位線，所以∥，所以∥，

又平面，平面，所以∥平面，

同理∥∥，且，所以四邊形為平行四邊形，

所以∥，又平面，平面，所以∥平面，

又，所以平面∥平面.

（Ⅲ）∴過作的平行線交分別于，連接分別交于，連接，如圖，

理由如下：因為∥∥，∴∥平面，平面，設平面平面，

由線面平行的性質定理知∥，所以過作的平行線交分別于，連

接分別交于，連接，即可得到平面與正方體側面的交

線.