Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，其左、右焦點為F1、F2 ， 點P是坐標平面內一點，且|OP|= ， = ，其中O為坐標原點．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過點S（0，﹣ ）的動直線l交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x0，y0），

∵|OP|= ，∴ = ，①

又 = ，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）（c﹣x0，﹣y0）= ，

即 ，②

①代入②得：c=1．又e= ，∴a= ，b=1，

故所求橢圓方程為 =1

（2）解：假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點．

當AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為：x2+y2=1，…③

當AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為： ，…④

由③，④知定點M（0，1）．

下證：以AB為直徑的圓恒過定點M（0，1）．

設直線l：y=kx﹣ ，代入 =1，有（2k2+1）x2﹣ =0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ．

則 ，

=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=

=（1+k2）x1x2﹣ +

=（1+k2） ﹣ + =0，

∴在y軸上存在定點M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過M（0，1）這個定點

【解析】（1）設P（x0，y0），由|OP|= ， = ，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．（2）假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點．當AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為：x2+y2=1，當AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為： ，從而求出定點M（0，1）． 再證明以AB為直徑的圓恒過定點M（0，1）．由此得到在y軸上存在定點M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過M（0，1）這個定點．