Question

在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚類，每個網箱的產量P是網箱個數x的一次函數，如果放置4個網箱，則每個網箱的產量為24噸；如果放置7個網箱，則每個網箱的產量為18噸，由于該水域面積限制，最多只能放置12個網箱．已知養(yǎng)殖總成本為50+2x萬元．
（1）試問放置多少個網箱時，總產量Q最高？
（2）若魚的市場價為1萬元/噸，應放置多少個網箱才能使每個網箱的平均收益最大？

Answer 1

（1）設p=ax+b，由已知得

24=4a+b 18=7a+b

，∴

a=-2 b=32

∴p=-2x+32
∴Q=px=（-2x+32）x=-2（x-8）²+128（x∈N₊，x≤12）
∴當x=8時，f（x）最大
即放置8個網箱時，可使綜產量達到最大
（2）收益為y=（-2x²+32）×1-（50+2x）（x∈N₊，x≤12）
∴

y

x

=-2x-

50

x

+30（x∈N₊，x≤12）
∵2x+

50

x

≥20（當且僅當2x=

50

x

，即x=5時取等號）
∴y≤-20+30=10
即x=5時，y_max=10