已知橢圓

:

的左、右焦點分別為

、

,橢圓上的點

滿足

,且△

的面積為

.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓

的左、右頂點分別為

、

,過點

的動直線

與橢圓

相交于

、

兩點,直線

與直線

的交點為

,證明:點

總在直線

上.
(Ⅰ)橢圓

的方程為

;(Ⅱ)詳見解析.
試題分析:(Ⅰ)由焦點坐標(biāo)知:

.又橢圓上的點

滿足

,由

可求得

,再由勾股定理可求得

,從而求得

.再由

求得

,從而得橢圓的方程.(Ⅱ)首先考慮

與

軸垂直的情況,此時可求出直線

與直線

的交點為

,

的方程是:

,代入驗證知點

在直線

上.當(dāng)直線

不與

軸垂直時,設(shè)直線

的方程為

,點

、

,

,則

,

,要證明

共線,只需證明

,即證明

.
若

,顯然成立;若

, 即證明

而

,這顯然用韋達(dá)定理.
試題解析:(Ⅰ)由題意知:

, 1分

橢圓上的點

滿足

,且

,

.

,

.

2分
又

3分

橢圓

的方程為

. 4分
(Ⅱ)由題意知

、

,
(1)當(dāng)直線

與

軸垂直時,

、

,則

的方程是:

,

的方程是:

,直線

與直線

的交點為

,
∴點

在直線

上. 6分
(2)當(dāng)直線

不與

軸垂直時,設(shè)直線

的方程為

,

、

,

由

得

∴

,

7分

,

,

共線,∴

8分
又

,

,需證明

共線,
需證明

,只需證明

若

,顯然成立,若

, 即證明

∵


成立, 11分
∴

共線,即點

總在直線

上. 12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線

的焦點為

,過點

的直線

交拋物線

于點

,

.
(Ⅰ)若

(點

在第一象限),求直線

的方程;
(Ⅱ)求證:

為定值(點

為坐標(biāo)原點).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

:

(

)過點

,且橢圓

的離心率為

.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)若動點

在直線

上,過

作直線交橢圓

于

兩點,且

為線段

中點,再過

作直線

.證明:直線

恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系

中,已知過點

的橢圓

:

的右焦點為

,過焦點

且與

軸不重合的直線與橢圓

交于

,

兩點,點

關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為

,直線

,

分別交橢圓

的右準(zhǔn)線

于

,

兩點.

(1)求橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點

的坐標(biāo)為

,試求直線

的方程;
(3)記

,

兩點的縱坐標(biāo)分別為

,

,試問

是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
橢圓

與雙曲線

有公共的焦點,過橢圓E的右頂點作任意直線l,設(shè)直線l交拋物線

于M、N兩點,且

.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點,點P關(guān)于原點O的對稱點為A、關(guān)于x軸的對稱點為Q,線段PQ與x軸相交于點C,點D為CQ的中點,若直線AD與橢圓E的另一個交點為B,試判斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

的方程為

,雙曲線

的左、右焦點分別為

的左、右頂點,而

的左、右頂點分別是

的左、右焦點。
(1)求雙曲線

的方程;
(2)若直線

與橢圓

及雙曲線

都恒有兩個不同的交點,且L與的兩個焦點A和B滿足

(其中O為原點),求

的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題

,則方程

表示的曲線不可能是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線

上一點P到y(tǒng)軸的距離為5,則點P到焦點的距離為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
橢圓

內(nèi)有一點

,過點

的弦恰好以

為中點,那么這條弦所在直線的斜率為
,直線方程為
.
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