已知橢圓

:

的左、右焦點(diǎn)分別為

、

,橢圓上的點(diǎn)

滿足

,且△

的面積為

.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓

的左、右頂點(diǎn)分別為

、

,過點(diǎn)

的動(dòng)直線

與橢圓

相交于

、

兩點(diǎn),直線

與直線

的交點(diǎn)為

,證明:點(diǎn)

總在直線

上.
(Ⅰ)橢圓

的方程為

;(Ⅱ)詳見解析.
試題分析:(Ⅰ)由焦點(diǎn)坐標(biāo)知:

.又橢圓上的點(diǎn)

滿足

,由

可求得

,再由勾股定理可求得

,從而求得

.再由

求得

,從而得橢圓的方程.(Ⅱ)首先考慮

與

軸垂直的情況,此時(shí)可求出直線

與直線

的交點(diǎn)為

,

的方程是:

,代入驗(yàn)證知點(diǎn)

在直線

上.當(dāng)直線

不與

軸垂直時(shí),設(shè)直線

的方程為

,點(diǎn)

、

,

,則

,

,要證明

共線,只需證明

,即證明

.
若

,顯然成立;若

, 即證明

而

,這顯然用韋達(dá)定理.
試題解析:(Ⅰ)由題意知:

, 1分

橢圓上的點(diǎn)

滿足

,且

,

.

,

.

2分
又

3分

橢圓

的方程為

. 4分
(Ⅱ)由題意知

、

,
(1)當(dāng)直線

與

軸垂直時(shí),

、

,則

的方程是:

,

的方程是:

,直線

與直線

的交點(diǎn)為

,
∴點(diǎn)

在直線

上. 6分
(2)當(dāng)直線

不與

軸垂直時(shí),設(shè)直線

的方程為

,

、

,

由

得

∴

,

7分

,

,

共線,∴

8分
又

,

,需證明

共線,
需證明

,只需證明

若

,顯然成立,若

, 即證明

∵


成立, 11分
∴

共線,即點(diǎn)

總在直線

上. 12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線

的焦點(diǎn)為

,過點(diǎn)

的直線

交拋物線

于點(diǎn)

,

.
(Ⅰ)若

(點(diǎn)

在第一象限),求直線

的方程;
(Ⅱ)求證:

為定值(點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

:

(

)過點(diǎn)

,且橢圓

的離心率為

.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)

在直線

上,過

作直線交橢圓

于

兩點(diǎn),且

為線段

中點(diǎn),再過

作直線

.證明:直線

恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系

中,已知過點(diǎn)

的橢圓

:

的右焦點(diǎn)為

,過焦點(diǎn)

且與

軸不重合的直線與橢圓

交于

,

兩點(diǎn),點(diǎn)

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為

,直線

,

分別交橢圓

的右準(zhǔn)線

于

,

兩點(diǎn).

(1)求橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)

的坐標(biāo)為

,試求直線

的方程;
(3)記

,

兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

,

,試問

是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
橢圓

與雙曲線

有公共的焦點(diǎn),過橢圓E的右頂點(diǎn)作任意直線l,設(shè)直線l交拋物線

于M、N兩點(diǎn),且

.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q,線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn),若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B,試判斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

的方程為

,雙曲線

的左、右焦點(diǎn)分別為

的左、右頂點(diǎn),而

的左、右頂點(diǎn)分別是

的左、右焦點(diǎn)。
(1)求雙曲線

的方程;
(2)若直線

與橢圓

及雙曲線

都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且L與的兩個(gè)焦點(diǎn)A和B滿足

(其中O為原點(diǎn)),求

的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題

,則方程

表示的曲線不可能是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線

上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為5,則點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
橢圓

內(nèi)有一點(diǎn)

,過點(diǎn)

的弦恰好以

為中點(diǎn),那么這條弦所在直線的斜率為
,直線方程為
.
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