Question

已知橢圓：（）過點(diǎn)，且橢圓的離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若動點(diǎn)在直線上，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，再過作直線.證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直線恒過定點(diǎn)

試題分析：(Ⅰ)點(diǎn)在橢圓上，將其代入橢圓方程，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033224281566.png" style="vertical-align:middle;" />，且，解方程組可得。（Ⅱ）點(diǎn)在直線上，則可得。當(dāng)直線的斜率存在時設(shè)斜率為，得到直線方程，聯(lián)立方程消掉得關(guān)于的一元二次方程。再根據(jù)韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033224063289.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)解得。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033224172616.png" style="vertical-align:middle;" />故可得直線的斜率，及其含參數(shù)的方程。分析可得直線是否恒過定點(diǎn)。注意還要再討論當(dāng)直線的斜率不存在的情況。
試題解析：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
所以，                   1分
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，    2分
解得，              4分
所以橢圓的方程為.                        5分
（Ⅱ）設(shè)，，
①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，
由得， 7分
所以，                             8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033224063289.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn)，所以，即.
所以，                              9分
因?yàn)橹本�，所以，
所以直線的方程為，即 ，
顯然直線恒過定點(diǎn).                           11分
②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線為軸，也過點(diǎn).                     13分
綜上所述直線恒過定點(diǎn).                       14分