Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，.
（Ⅰ）若（點(diǎn)在第一象限），求直線的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的方程知焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為。設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限所以且。由拋物線的定義可知等于點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，即，可得，從而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)。由點(diǎn)和點(diǎn)可求直線的方程。（Ⅱ）可分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設(shè)直線方程為，與拋物線聯(lián)立方程，消去整理可得關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橛袃蓚�(gè)交點(diǎn)即方程有兩根，所以判別式應(yīng)大于0。然后用韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。用向量數(shù)量積公式求即可得證。
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)，由題意，且.
點(diǎn)在拋物線上，且，
點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
，.                                     2分
又，，
.
.
，                                              4分
直線的方程為，即.        5分
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：.
由得，即.          7分
顯然恒成立.
設(shè)，，則                  9分

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即為定值.                                11分