Question

【題目】某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產千件，需另投入成本，當年產量不足80千件時，（萬元）；當年產量不小于80千件時，（萬元），每件售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；

（2）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）100千件.

【解析】

（1）分兩種情況進行研究，當時，當時，分別根據年利潤等于銷售收入與成本的差，列出函數關系式，最后寫成分段函數的形式，從而得到答案；（2）根據年利潤的解析式，分段研究函數的最值，當時，利用二次函數求最值，當時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．

（1）∵每件商品售價為0.05萬元，

∴千件商品銷售額為萬元，

①當時，根據年利潤=銷售收入-成本，

∴；

②當時，根據年利潤=銷售收入-成本，

∴

綜合①②可得，；

（2）①當時，，

∴當時，取得最大值萬元；

②當時，，

當且僅當，即時，取得最大值萬元．

綜合①②，由于，

∴年產量為100千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大．