Question

【題目】已知函數(shù)f (x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R．

（1）若函數(shù)f (x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切，求b的值；

（2）設(shè)T(x)＝f (x)＋ag(x)，a∈R，求函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間；

（3）設(shè)h(x)＝|g(x)|·f (x)，b＜1．若存在x1，x2 [0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝－1（2）見解析（3）(－∞，)

【解析】分析：（1）設(shè)切點(diǎn)為（t，et），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得et=1，且et=t-b，即可得到b=-1；
（2）求出T（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；
（3）求出h（x）的分段函數(shù)，討論x的范圍，求得單調(diào)區(qū)間，對(duì)b討論，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范圍．

詳解：

(1)設(shè)切點(diǎn)為(t，et)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切，

所以et＝1，且et＝t－b，

解得b＝－1．

（2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a．

當(dāng)a≥0時(shí)，T′(x)＞0恒成立．

當(dāng)a＜0時(shí)，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．

所以，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)；

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln(－a)，＋∞)．

（3) h(x)＝|g(x)|·f(x)＝

當(dāng)x>b時(shí)，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上為增函數(shù)；

當(dāng)x<b時(shí)，h′(x)＝－(x－b＋1) ex，

因?yàn)?/span>b－1＜x＜b時(shí)，h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是減函數(shù)；

因?yàn)?/span>x＜b－1時(shí)， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函數(shù)．

當(dāng)b≤0時(shí)，h(x)在(0，1)上為增函數(shù)．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．

由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．

②當(dāng)0＜b＜時(shí)，

因?yàn)?/span>b＜x＜1時(shí)， h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函數(shù)，

因?yàn)?/span>0＜x＜b時(shí)， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是減函數(shù)．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．

由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．

因?yàn)?/span>0＜b＜，所以0＜b＜．

③當(dāng)≤b＜1時(shí)，

同理可得，h(x)在(0，b)上是減函數(shù)，在(b，1)上是增函數(shù)．

所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．

因?yàn)?/span>b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．

綜上，b的取值范圍為(－∞，)．