【題目】已知向量
，
，
．
（
）求函數
的單增區(qū)間．
（
）若
，求
值．
（
）在
中，角
，
，
的對邊分別是
，
，
．且滿足
，求函數
的取值范圍．
【答案】（
）
;（
）
;（
）
．
【解析】試題分析：（1）利用平面向量的數量積得到f（x）的解析式，求解單調區(qū)間即可；
（2）由（1）的解析式，利用f（x）=1，結合倍角公式求
的值即可；
（3）結合正弦定理結合內角和公式，得到f（A）的解析式，結合三角函數的有界性求值域即可.
試題解析：（）
，
∴
．
由
，
得：
，．
的遞增區(qū)間是
．
（）
．
．
∵
，
∴
，
∴
．
（）∵
．
由正弦定理得
．
∴
．
∴
．
∵
．
∴
．
∴
．
∵
．
∴
．
∴
．
∴
，
．
又∵．
∴
．
故函數
的取值范圍是．
點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數關系式，如
，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,在四棱錐
中，平面
平面
，
，
，
，
，點
在棱
上，且
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）是否存在實數
，使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（其中
為參數），曲線
，以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的普通方程和曲線
的極坐標方程；
(2)若射線
與曲線，分別交于
兩點，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018山西太原市高三3月模擬】已知橢圓
的左、右頂點分別為
，右焦點為
，點
在橢圓
上．
（I）求橢圓方程；
（II）若直線
與橢圓
交于
兩點，已知直線
與
相交于點
，證明：點
在定直線上，并求出定直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某工廠的一個車間抽取某種產品50件，產品尺寸（單位：
）落在各個小組的頻數分布如下表：
數據分組 |
|
|
|
|
|
|
|
頻數 | 3 | 8 | 9 | 12 | 10 | 5 | 3 |
（1）根據頻數分布表，求該產品尺寸落在
的概率；
（2）求這50件產品尺寸的樣本平均數
.（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（3）根據產品的頻數分布，求出產品尺寸中位數的估計值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小店每天以每份5元的價格從食品廠購進若干份食品，然后以每份10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的食品還可以每份1元的價格退回食品廠處理.
(Ⅰ)若小店一天購進16份，求當天的利潤
（單位：元）關于當天需求量
（單位：份，
）的函數解析式；
(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量（單位：份），整理得下表：
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)小店一天購進16份這種食品，
表示當天的利潤（單位：元），求的分布列及數學期望；
(ii)以小店當天利潤的期望值為決策依據，你認為一天應購進食品16份還是17份？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）當
時，求證：函數
有兩個不相等的零點
， 
，且
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）討論函數單調區(qū)間即解導數大于零求得增區(qū)間，導數小于零求得減區(qū)間（2）函數有兩個不同的零點，先分析函數單調性得零點所在的區(qū)間， 
在
上單調遞增，在
上單調遞減.∵
， 
， 
，∴函數
有兩個不同的零點，且一個在
內，另一個在
內.
不妨設
， 
，要證
，即證
， 
在
上是增函數，故
，且
，即證
. 由
，得
，
令
， 
，得
在
上單調遞減，∴
，且∴
， 
，∴
，即∴
，故
得證
解析：（1）當
時， 
，得
，
令
，得
或
.
當
時， 
， 
，所以
，故
在
上單調遞減；
當
時， 
， 
，所以
，故
在
上單調遞增；
當
時， 
， 
，所以
，故
在
上單調遞減；
所以
在
， 
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）證明：由題意得
，其中
，
由
得
，由
得
，
所以
在
上單調遞增，在
上單調遞減.
∵
， 
， 
，
∴函數
有兩個不同的零點，且一個在
內，另一個在
內.
不妨設
， 
，
要證
，即證
，
因為
，且
在
上是增函數，
所以
，且
，即證
.
由
，得
，
令
， 
，
則
.
∵
，∴
， 
，
∴
時， 
，即
在
上單調遞減，
∴
，且∴
， 
，
∴
，即∴
，故
得證.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】已知曲線
的參數方程為
（
為參數）.以平面直角坐標系
的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，設直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
和直線
的普通方程；
（2）設
為曲線
上任意一點，求點
到直線
的距離的最值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，且保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯系．發(fā)生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：
交強險浮動因素和費率浮動比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
A1 | 上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮10% |
A2 | 上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮20% |
A3 | 上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮30% |
A4 | 上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
A5 | 上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故 | 上浮10% |
A6 | 上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機構為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：
類型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
數量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率；
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車．假設購進一輛事故車虧損5 000元，一輛非事故車盈利10 000元．且各種投保類型的頻率與上述機構調查的頻率一致，完成下列問題：
①若該銷售商店內有6輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在店內隨機挑選2輛車，求這2輛車恰好有一輛為事故車的概率；
②若該銷售商一次購進120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值．
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