Question

【題目】如圖,在四棱錐中，平面平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：(1)由邊長(zhǎng)和勾股定理得，又平面平面，由定理證得平面 (2) 建立空間直角坐標(biāo)系, 得出平面的一個(gè)法向量為

，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由題意計(jì)算得出結(jié)果

解析：（Ⅰ）過點(diǎn)作交于，

，，

四邊形為正方形，且，

在中，，在中，

又平面平面，平面平面

平面

平面，且

平面

（Ⅱ）

又平面平面，平面平面

平面 ，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為，令

點(diǎn)在棱上，

設(shè)

則，

平面，平面的一個(gè)法向量為

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由得令得

取

化簡(jiǎn)得又

存在實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.