Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)，參數(shù)，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在曲線：上.

（1）求點(diǎn)的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)的軌跡和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡的方程：，曲線的方程為：， ；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，消去參數(shù)可得普通方程，由曲線：，得，由，代入可得直角坐標(biāo)方程；

（2）由數(shù)形結(jié)合的思想曲線表示過點(diǎn)，斜率為的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡，以為圓心，為半徑的圓有兩個(gè)公共點(diǎn)即可.

試題解析：

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有

消去參數(shù)，可得，為點(diǎn)的軌跡的方程；

由曲線：，得，且，

由，故曲線的方程為： ；

（2）曲線的方程為： ，即

表示過點(diǎn)，斜率為的直線，

動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

由軌跡和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得．

（或圓心到直線的距離小于半徑和去求）.