Question

（2012•紹興一模）已知f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）＜0，則滿足f(

x

4

)=f(

x-1

x-3

)的所有x之和為（　　）

A．-6

B．6

C．-7

D．7

Answer 1

分析：f（x）為偶函數(shù)推出f（-x）=f（x），x＞0時f（x）是單調(diào)增函數(shù)，推出f（x）不是周期函數(shù)．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．

解答：解：∵f（x）為偶函數(shù)，f（2x）=f（-2x）且當(dāng)x＞0時f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
又滿足f（

x

4

）=f（

x-1

x-3

），
∴

x

4

=

x-1

x-3

或

x

4

=-

x-1

x-3

，
可得，x²-7x+4=0或x²+x-4=0，
∴x₁+x₂=7或x₃+x₄=-1，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=7-1=6，
故選B．

點評：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決此類題型要注意變換自變量與函數(shù)值的關(guān)系：①奇偶性：f（-x）=f（x）②增函數(shù)x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）；減函數(shù)x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）．