Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，對任意的正整數(shù)，將集合中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）對（2）中的，求集合的元素個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求得答案;

（2）由（1）,求得,根據(jù) 且 成等差數(shù)列,即可求得,即可求證數(shù)列為等比數(shù)列;

（3）要求集合中整數(shù)的個(gè)數(shù),關(guān)鍵是求出與的特征,的特征與的奇偶性有關(guān),可運(yùn)用二項(xiàng)式定理研究其性質(zhì),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,同樣可得,則集合的元素個(gè)數(shù)為.同樣求出為偶數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù)即可.

（1） 數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列

,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

綜上所述,,.

（2）由（1）

則

且 成等差數(shù)列,

為常數(shù),

為等比數(shù)列.

（3）①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)

同理可得,

則集合的元素個(gè)數(shù)為

②當(dāng)為偶數(shù)時(shí),同理可得的元素個(gè)數(shù)為

綜上所述,集合的元素個(gè)數(shù):.