Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

附：.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，當(dāng)，由求出的解，即可求出結(jié)論；

（2）要使時(shí)，恒成立，只需時(shí)，，令

，，求導(dǎo)并判斷，在是增函數(shù)，

對(duì)分類討論，通過判斷的正負(fù)情況，討論的單調(diào)區(qū)間，從而求出時(shí)的最大值，即可求解.

（1）已知，其中.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，

，單調(diào)遞減；

當(dāng)，，單調(diào)遞增.

則的單調(diào)減區(qū)間為，

的單調(diào)增區(qū)間為.

（2）令，，

則，由，則，

所以單調(diào)遞增，.

①當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，

滿足，無解；

②當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，

滿足，成立；

③當(dāng)時(shí)，由時(shí)，單調(diào)遞增，

所以存在，使得，

則在上單減，在上單增，

要恒成立，只要且，即.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.