Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，是邊長(zhǎng)為的正方形．且，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）證明出平面，由直線與平面垂直的定義可得出；

（2）解法一：以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得出平面與平面的一個(gè)法向量分別為、，然后利用空間向量法計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角；

解法二：過(guò)引直線，使得，可知為平面與平面所成二面角的棱，并證明出，，由二面角的定義得出為平面與平面所成的銳二面角，然后在計(jì)算出該角即可.

（1）由題意，底面是正方形，.

底面，平面，.

，平面.

平面，.

又，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，

，平面.

平面，；

（2）法—：由題知、、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，則，，

平面，則是平面的一個(gè)法向量，，

由（1）知平面，是平面的一個(gè)法向量，且，

∴，

因此，平面與平面所成銳二面角的大小等于；

法二：過(guò)引直線，使得，則，

平面，平面，就是平面與平面所成二面角的棱．

由條件知，，，已知，則平面．

由作法知，則平面，所以，，

就是平面與平面所成銳二面角的平面角．

在中，，平面與平面所成銳二面角的大小等于．