Question

【題目】在一個(gè)給定的正邊形的頂點(diǎn)中隨機(jī)地選取三個(gè)不同的頂點(diǎn)，任何一種選法的可能性是相等的，則正多邊形的中心位于所選三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形內(nèi)部的概率為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

從邊形的頂點(diǎn)中隨機(jī)地選取三個(gè)不同的頂點(diǎn)中取3個(gè)的所有不同的取法有,每種取法等可能出現(xiàn),屬于古典概率,正多邊形的中心位于所選三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形內(nèi)部,若第一個(gè)點(diǎn)取的就是點(diǎn),對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)分類考慮：第二個(gè)點(diǎn)取取的是點(diǎn)1,第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)2…第二個(gè)點(diǎn)取的是m,第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)n,再考慮第三個(gè)點(diǎn)的所有取法,利用古典概率的公式可求．

解：不妨設(shè)以時(shí)鐘12點(diǎn)方向的頂點(diǎn)為點(diǎn),順時(shí)針方向的下一個(gè)點(diǎn)為點(diǎn)1,則以時(shí)鐘12點(diǎn)和6點(diǎn)連線為軸,左右兩邊各有n個(gè)點(diǎn)．

多邊形中心位于三角形內(nèi)部的三角形個(gè)數(shù)a：

假設(shè)第一個(gè)點(diǎn)取的就是點(diǎn),則剩下的兩點(diǎn)必然在軸線的一左一右．

對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)1,

對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)2,第三個(gè)點(diǎn)能取點(diǎn)、點(diǎn),有2種

…

對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)m,第三個(gè)點(diǎn)能取點(diǎn)、點(diǎn)…點(diǎn),有m種

…

對(duì)于第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)n,第三個(gè)點(diǎn)能取點(diǎn),點(diǎn)…點(diǎn)2n,有n種

一共種

如果第二個(gè)點(diǎn)取的是點(diǎn)到點(diǎn)2n,可視為上述情況中的第三個(gè)點(diǎn)．

所以

一共可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)

故答案為：