Question

【題目】如圖，三棱錐中，，，.

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為且時(shí)，求的中線與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

(1) 取中點(diǎn),連,,證明平面即可.

(2) 由(1)在平面內(nèi)作,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解線面角的正弦值或直接利用向量的關(guān)系求解即可.

（1）證明：取中點(diǎn),連,,∵,,

∴,,平面,且,

∴平面,又平面,∴.

（2）由（1）知是二面角的平面角,

∴,又由平面知平面平面,

所以在平面內(nèi)作,則面,可建如圖坐標(biāo)系,

又易得,故在中由余弦定理可得,

于是可得各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,

∴,∴,

又平面的一個(gè)法向量為,

所以直線與面所成角的正弦值.

法二：由（1）知是二面角的平面角,∴.

作于,則由平面知平面,且,

又易得,故在中由余弦定理可得,∴.

又為中點(diǎn),所以到平面的距離.

因?yàn)?/span>,,,∴,

∴.

所以直線與面所成角的正弦值.