Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)M軌跡C的方程；

（2）設(shè)N（0，2），過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問(wèn)k1+k2是否為定值？若是的求出這個(gè)值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1)由橢圓的定義確定軌跡方程即可；

(2)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理和斜率公式可得k1+k2的值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接計(jì)算k1+k2的值，從而可以考查k1+k2是否為定值.

（1）由橢圓定義，可知點(diǎn)M的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．

由，得b=2．

故曲線C的方程為．

（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y+2=k（x+1），

由，

得（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，．

從而．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得，

得k1+k2=4．

綜上，恒有k1+k2=4．