【題目】已知橢圓
的離心率為
，橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為
.
（1）求橢圓
的方程式；
（2）已知動直線
與橢圓相交于
兩點(diǎn).
①若線段
中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
，求斜率
的值；
②已知點(diǎn)
，求證：
為定值.
【答案】（1）
＋
＝1
（2）①±
②見解析
【解析】
(1)
＋
＝1(a>b>0)滿足a2＝b2＋c2，又
＝
，
×b×2c＝
，
解得a2＝5，b2＝
，則橢圓方程為＋＝1．
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①將y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
∴Δ＝48k2＋20>0，x1＋x2＝－
，
∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，
∴－＝－1，解得k＝±．
②由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝
，
∴
·
＝(x1＋
，y1)·(x2＋，y2)
＝(x1＋)(x2＋)＋y1y2
＝(x1＋)(x2＋)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(＋k2)(x1＋x2)＋
＋k2
＝(1＋k2)＋(＋k2)(－)＋＋k2
＝
＋＋k2＝
(定值)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在
中，平面
平面
，
，
.設(shè)
分別為
中點(diǎn).
（1）求證：
平面
；
（2）求證：
平面
；
（3）試問在線段
上是否存在點(diǎn)
，使得過三點(diǎn)
的平面內(nèi)的任一條直線都與平面
平行?
若存在，指出點(diǎn)
的位置并證明；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)事件A表示“關(guān)于
的一元二次方程
有實(shí)根”，其中
，
為實(shí)常數(shù).
（Ⅰ）若為區(qū)間[0，5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，為區(qū)間[0，2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若為區(qū)間[0，5]上的均勻隨機(jī)數(shù)，為區(qū)間[0，2]上的均勻隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，函數(shù)
，其中
.
（1）如果函數(shù)
與
在
處的切線均為
，求切線的方程及
的值；
（2）如果曲線
與
有且僅有一個公共點(diǎn)，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2015年10月十八屆五中全會決定2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策，為了了解適齡民眾對放開生育二胎政策的態(tài)度，某市進(jìn)行了一次民意調(diào)查，參與調(diào)查的100位市民中，年齡分布情況如下圖所示，并得到適齡民眾對放開生育二胎政策的態(tài)度數(shù)據(jù)如下表：
生二胎 | 不生二胎 | 合計 | |
25~35歲 | 10 | ||
35~50歲 | 30 | ||
合計 | 100 |
（1）填寫上面的
列聯(lián)表；
（2）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，有多少的把握認(rèn)為“生二胎與年齡有關(guān)”，說明理由；
（3）調(diào)查對象中決定生二胎的民眾有六人分別來自三個不同的家庭且為父子，各自家庭都有一個約定：父親先生二胎，然后兒子生二胎，則這三個家庭“二胎出生的日期的先后順序”有多少種？
參考數(shù)據(jù)：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
（參考公式：
，其中
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】劉老師是一位經(jīng)驗豐富的高三理科班班主任，經(jīng)長期研究，他發(fā)現(xiàn)高中理科班的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（總分150分）與理綜成績（物理、化學(xué)與生物的綜合，總分300分）具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，以下是劉老師隨機(jī)選取的八名學(xué)生在高考中的數(shù)學(xué)得分x與理綜得分y（如下表）：
學(xué)生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理綜分?jǐn)?shù)y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
參考數(shù)據(jù)及公式： 
．
（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）若小汪高考數(shù)學(xué)110分，請你預(yù)測他理綜得分約為多少分？（精確到整數(shù)位）；
（3）小金同學(xué)的文科一般，語文與英語一起能穩(wěn)定在215分左右．如果他的目標(biāo)是在
高考總分沖擊600分，請你幫他估算他的數(shù)學(xué)與理綜大約分別至少需要拿到多少分？（精確到整數(shù)位）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知關(guān)于
的一次函數(shù)
.
（1）設(shè)集合
和
，分別從集合
和
中隨機(jī)取一個數(shù)作為
和
，求函數(shù)
是增函數(shù)的概率；
（2）實(shí)數(shù)
滿足條件
，求函數(shù)
的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2017年天貓五一活動結(jié)束后，某地區(qū)研究人員為了研究該地區(qū)在五一活動中消費(fèi)超過3000元的人群的年齡狀況，隨機(jī)在當(dāng)?shù)叵M(fèi)超過3000元的群眾中抽取了500人作調(diào)查，所得概率分布直方圖如圖所示：記年齡在
， 
， 
對應(yīng)的小矩形的面積分別是
，且
.
（1）以頻率作為概率，若該地區(qū)五一消費(fèi)超過3000元的有30000人，試估計該地區(qū)在五一活動中消費(fèi)超過3000元且年齡在
的人數(shù)；
（2）若按照分層抽樣，從年齡在
的人群中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人作深入調(diào)查，求至少有1人的年齡在
內(nèi)的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解某單位員工的月工資水平，從該單位500位員工中隨機(jī)抽取了50位進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：
月工資 （單位：百元） | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
男員工數(shù) | 1 | 8 | 10 | 6 | 4 | 4 |
女員工數(shù) | 4 | 2 | 5 | 4 | 1 | 1 |
(1)
試由上圖估計該單位員工月平均工資；
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從月工資在
和
的兩組所調(diào)查的男員工中隨機(jī)選取5人，問各應(yīng)抽取多少人？
(3)若從月工資在
和兩組所調(diào)查的女員工中隨機(jī)選取2人，試求這2人月工資差不超過1000元的概率．
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