Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，其中.

（1）如果函數(shù)與在處的切線均為，求切線的方程及的值；

（2）如果曲線與有且僅有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）和在處的切線相同，則在該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)相等，從而求解的值，以及切線的方程；（2）設(shè)函數(shù)，則將原問題轉(zhuǎn)化為有有唯一解，然后對進(jìn)行分類討論即可.

試題解析：（1）解：求導(dǎo)，得.

由題意，得切線的斜率，即，解得.

又切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線的方程為.

（2）解：設(shè)函數(shù).

“曲線與有且僅有一個公共點(diǎn)”等價于“函數(shù)有且僅有一

個零點(diǎn)”. 求導(dǎo)，得.

① 當(dāng)時，

由，得，所以在單調(diào)遞增.

又因為，所以有且僅有一個零點(diǎn)，符合題意.

②當(dāng)時，

當(dāng)變化時，與的變化情況如下表所示：

		0
	↘		↗

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，

故有且僅有一個零點(diǎn)，符合題意.

③ 當(dāng)時，

令，解得.

當(dāng)變化時，與的變化情況如下表所示：

	-	0
	↘		↗

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，.

因為，且在上單調(diào)遞增，

所以.

又因為存在 ，

所以存在使得，

所以函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，，與題意不符.

綜上，曲線與有且僅有一個公共點(diǎn)時，的范圍是.