Question

【題目】在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為，動點滿足：直線與直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于兩點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析：(1)設(shè)出動點的坐標,根據(jù)斜率之積為,可以求得軌跡方程；(2)設(shè)直線,與曲線方程聯(lián)立,消去,得出關(guān)于的一元二次方程,寫出韋達定理,因為,代入可以得到的等式,把用換掉,可以得到三角形的高為定值,再用基本不等式放縮得到面積的最值.

試題解析：解：（1）已知，設(shè)動點的坐標，

∴直線的斜率，直線的斜率，

又，∴，即.

（2）設(shè)，直線的方程為，

與橢圓聯(lián)立，消去得，

，.

∵，∴，∴，

即，

把，代入得，

整理得，

∴到直線的距離.

∵，∴，當且僅當時取“=”.

由得，

∴，即弦的長度的最小值是.

∴面積的最小值為.