Question

【題目】已知，，其中常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍；

（3）設(shè)，在區(qū)間內(nèi)是否存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間的值域也是？請(qǐng)給出結(jié)論，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值0，沒有極大值；（2）；（3）不存在區(qū)間符合要求，理由見解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，得到有兩個(gè)零點(diǎn)的條件，求出的范圍；

（3）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷在單調(diào)遞增，將在區(qū)間的值域也是，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)大于的不等實(shí)根解決問(wèn)題.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

（1）當(dāng)時(shí)，，，

而在上單調(diào)遞增，又，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，沒有極大值．

（2）令， ，因?yàn)?/span>，所以

		0
	增		減

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，所以

當(dāng)時(shí)因?yàn)?/span>，，所以有兩個(gè)零點(diǎn).

(3)，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)是存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間的值域也是，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)

所以在上是增函數(shù)，所以，即

即方程有兩個(gè)大于的不等實(shí)根.上述方程等價(jià)于

設(shè)，所以

所以在上是增函數(shù)，所以上至多一個(gè)實(shí)數(shù)根.

即上不可能有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以假設(shè)不成立，所以不存在區(qū)間符合要求.