Question

【題目】已知二次函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有成立，且，，.

（1）求的解析式；

（2）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，若，當(dāng)時(shí)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，結(jié)合可得出該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可設(shè)，再由求出實(shí)數(shù)的值，由此可得出函數(shù)的解析式；

（2）求出函數(shù)的解析式，分析該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出和，然后解不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得出實(shí)數(shù)的最大值.

（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有成立，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，又，則二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)，則，因此，；

（2），對(duì)稱軸為直線，，則.

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，，則，得，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，，，且，，

則，整理得，解得，此時(shí)，.

因此，，則實(shí)數(shù)的最大值為.