Question

【題目】若數(shù)列同時滿足：①對于任意的正整數(shù)， 恒成立；②對于給定的正整數(shù)， 對于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.

（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得， ， ， 成等差數(shù)列，證明： 是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）是（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義驗證兩個條件是否成立，由于函數(shù)為分段函數(shù)，所以分奇偶分別驗證（2）根據(jù)定義數(shù)列隔項成等差，再根據(jù)單調性確定公差相等，最后求各項通項，根據(jù)通項關系得數(shù)列通項，根據(jù)等差數(shù)列證結論

試題解析：（1）當為奇數(shù)時， ，所以.

.

當為偶數(shù)時， ，所以.

.

所以，數(shù)列是“數(shù)列”.

（2）由題意可得： ，

則數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設其公差為.

因為，所以，

所以，

所以①，②.

若，則當時，①不成立；

若，則當時，②不成立；

若，則①和②都成立，所以.

同理得： ，所以，記.

設 ，

則

.

同理可得： ，所以.

所以是等差數(shù)列.

【另解】 ，

，

，

以上三式相加可得： ，所以，

所以 ，

，

，

所以，所以，

所以，數(shù)列是等差數(shù)列.