Question

【題目】已知中心在原點(diǎn) ，焦點(diǎn)在 軸上，離心率為 的橢圓過點(diǎn) ．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與 軸的非負(fù)半軸交于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于點(diǎn) ， 兩點(diǎn)，連接 ，求 的面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為 ，則 ，故 ，
所以，橢圓方程為 ．
（Ⅱ）由題意可知，直線 的斜率存在且不為o．
故可設(shè)直線 的方程為 ，由對(duì)稱性，不妨設(shè) ，
由 ，消去 得 ，
則 ，將式子中的 換成 ，得： ．


，
設(shè) ，則 ．
故 ，取等條件為 即 ，
即 ，解得 時(shí)， 取得最大值
【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合已知條件利用橢圓的基本性質(zhì)即可求出a、b的值。(2)根據(jù)題意首先判斷出直線的斜率是存在的進(jìn)而可設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元求出弦長(zhǎng)的代數(shù)式，整理化簡(jiǎn)借助基本不等式求出最大值。