Question

【題目】如圖，在 中， ， . 分別是邊 上的點(diǎn)，且 .現(xiàn)將 沿直線(xiàn) 折起，形成四棱錐 ，則此四棱錐的體積的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】作 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，由勾股定理有： ，
由相似三角形的性質(zhì)有： ， ，
設(shè) ，則 ，
四棱錐體積最大時(shí)，必須滿(mǎn)足平面 平面 ，
四棱錐的底面積： ，
四棱錐的高 ，據(jù)此可得體積函數(shù)：
，
則 ，令 可得： ，
結(jié)合函數(shù)的定義域可得：
函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
則此四棱錐的體積的最大值是 .

首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到折疊后的邊的值，設(shè) E F = x ( 0 < x < 6 ) ，則 P E = 6 x，由題意可知四棱錐體積最大時(shí)，必須滿(mǎn)足平面 P C D ⊥ 平面 A B C D ，進(jìn)而得到面積關(guān)于x的二次函數(shù)的代數(shù)式從而求出體積的表達(dá)式，對(duì)其求導(dǎo)可得出原函數(shù)在區(qū)間 ( 0 , 6 2 3 ) 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 ( 6 2 3 , 6 ) 上單調(diào)遞減，從而求出體積的最大值。