Question

【題目】已知函數(shù) .
（1）討論 的單調(diào)性；
（2）若 有兩個極值點 ， ，證明： .

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) 的定義域為 . .
，方程 的判別式 .
①當(dāng) 時， ，∴ ，故函數(shù) 在 上遞減；
②當(dāng) 時， ，由 可得 ， .

函數(shù) 的減區(qū)間為 ；增區(qū)間為 .
所以，當(dāng) 時， 在 上遞減；當(dāng) 時， 在 上遞增，在 上遞減
（2）解：由 （1）知當(dāng) 時，函數(shù) 有兩個極值點 ，且 .


設(shè) ，則 ， ，
所以 在 上遞增， ，
所以 .
【解析】（1）根據(jù)題目中所給的條件的特點，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過分類討論a的值，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）表示出f（x1）+f（x2），通過利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值進行證明．導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．