【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè).
①若函數(shù)在
處的切線過點
,求
的值;
②當時,若函數(shù)
在
上沒有零點,求
的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù),且
,求證: 當
時,
.
【答案】(1)①;②
;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)①由題意切線斜率
,又
切線方程
;②當
,因為
.
然后利用分類討論思想對和
分情況討論的:
;(2)由題意得
,從而原命題等價于
設(shè)
,然后利用導數(shù)工具證明
.
試題解析:
(1)①由題意,得,所以函數(shù)
在
處的切線斜率
,又
,所以函數(shù)
在
處的切線方程
,將點
代入,得
.
②當,可得
,因為
.
當時,
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,而
,所以只需
,解得
,從而
當
時,由
,解得
,當
時,
單調(diào)遞減; 當
時,
單調(diào)遞增, 所以函數(shù)
在
上有最小值為
,令
,解得
.綜上所述,
.
(2)由題意,,而
,等價于
,則
,且
,
令,則
,因為
,所以導數(shù)
在
上單調(diào)遞增,于是
,從而函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,即
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了對某課題進行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人)
高校 | 相關(guān)人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,
;
(Ⅱ)若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來自高校
的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:數(shù)列對一切正整數(shù)
均滿足
,稱數(shù)列
為“凸數(shù)列”,以下關(guān)于“凸數(shù)列”的說法:
①等差數(shù)列一定是凸數(shù)列;
②首項,公比
且
的等比數(shù)列
一定是凸數(shù)列;
③若數(shù)列為凸數(shù)列,則數(shù)列
是單調(diào)遞增數(shù)列;
④若數(shù)列為凸數(shù)列,則下標成等差數(shù)列的項構(gòu)成的子數(shù)列也為凸數(shù)列.
其中正確說法的序號是_____________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為弘揚民族古典文化,學校舉行古詩詞知識競賽,某輪比賽由節(jié)目主持人隨機從題庫中抽取題目讓選手搶答,回答正確給改選手記正10分,否則記負10分.根據(jù)以往統(tǒng)計,某參賽選手能答對每一個問題的概率為;現(xiàn)記“該選手在回答完
個問題后的總得分為
”.
(1)求且
的概率;
(2)記,求
的分布列,并計算數(shù)學期望
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列四個命題中,假命題是_________ (填序號).
①經(jīng)過定點P(x0,y0)的直線不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;
②經(jīng)過兩個不同的點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用
方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)來表示;
③與兩條坐標軸都相交的直線不一定可以用方程表示;
④經(jīng)過點Q(0,b)的直線都可以表示為y=kx+b.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在坐標軸上,點
為拋物線
上一點.
(1)求的方程;
(2)若點在
上,過
作
的兩弦
與
,若
,求證: 直線
過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于空間直角坐標系中的一點
,有下列說法:
①點到坐標原點的距離為
;
②的中點坐標為
;
③點關(guān)于
軸對稱的點的坐標為
;
④點關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標為
;
⑤點關(guān)于坐標平面
對稱的點的坐標為
.
其中正確的個數(shù)是
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
,焦點
,
為坐標原點,直線
(不垂直
軸)過點
且與拋物線
交于
兩點,直線
與
的斜率之積為
.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為線段
的中點,射線
交拋物線
于點
,求證:
.
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