Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，（2）（3）

【解析】

（1）化簡得到，分別計算單調(diào)性得到答案.

（2）化簡得到恒成立，計算函數(shù)的最大值得到答案.

（3）化簡得到，確定在和上都各有個不同的零點，計算得到答案.

（1）當(dāng)時，

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增.

因為函數(shù)的圖象在上不間斷，

所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.

（2）對任意恒成立.

因為，，所以，

故不等式可化為，即，

所以問題轉(zhuǎn)化為不等式對任意恒成立.

又在上單調(diào)遞減，

所以，

所以.

（3），其中.

顯然，當(dāng)時，至多有個不同的零點，且當(dāng)時，

至多有個不同的零點，

又有個不同的零點，

所以在和上都各有個不同的零點，

所以且即

又，解得，

所以實數(shù)的取值范圍是.