Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明，并指出a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）為R上的增函數(shù)；（2）證明見(jiàn)解析，a的取值范圍是.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意求出的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式后，即可確定滿足條件的a的取值范圍.

（1）由題，

則，得，

此時(shí)，由得.

則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，且，所以為R上的增函數(shù)

（2）①當(dāng)時(shí)，由得或，

若，由（1）知，為R上的增函數(shù).

由，，

所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

若，則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù).

而，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

若時(shí)，則時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，得，故最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意

②當(dāng)時(shí)，由得，

由得，為減函數(shù)，由得，為增函數(shù)，

則.

又時(shí)，，時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，始終有兩個(gè)零點(diǎn)，，

不妨令，，構(gòu)造函數(shù)，

所以，

由于時(shí)，，又，則恒成立，

所以為的減函數(shù)，

則，

即，故有.

又，是的兩個(gè)零點(diǎn)，則，

所以.結(jié)合的單調(diào)性得，

所以，所求a的取值范圍是.