Question

【題目】定義：過橢圓上的一點（不與長軸的端點重合）與橢圓的兩個焦點確定的三角形稱為橢圓的焦點三角形；已知過橢圓上一點P（不與長軸的端點重合）的焦點三角形，且．

（1）求證：焦點三角形的面積為定值；

（2）已知橢圓的一個焦點三角形為，；

①若，求點的橫坐標的范圍；

②若，過點的直線與軸交于點，且，記，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①或；②或．

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義、余弦定理及三角形面積公式推理運算即可；

（2）①先設(shè)出點坐標，根據(jù)焦半徑公式表示出，根據(jù)余弦定理用點的橫坐標表示出來，再利用的范圍求出點的橫坐標范圍；②利用（1）的結(jié)論及條件先求出點坐標，然后在中利用面積公式求出即可.

解：（1）證明：設(shè)，由橢圓定義有，在三角形中，由余弦定理得：，

即，所以 .

（2）①設(shè)，由已知得：，.

在三角形中，由焦半徑公式得：，

由余弦定理得：，

代入并化簡得：，故或 .

②由（1）可知，可得，或.

（ⅰ）當時，設(shè)，

在三角形中，，

由余弦定理得：得.

則，所以，所以，∴，所以 .

（ⅱ）當時，同理可得

綜上所述，或．