Question

【題目】若是素?cái)?shù)，證明存在0，1，2，…，的一個(gè)排列（，，…，），使得，，，…，.被除的余數(shù)各不相同.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

是素?cái)?shù)，由孫子定理，對每個(gè)，存在，使得

有解.

設(shè)，并用表示被除的余數(shù)，

則.

（1）首先證明，且時(shí)，.

這是因?yàn)?/span>，

，

.

（2）其次證明，.

否則，若，則，，

時(shí)，由于，有.

從而，有

. （2）

從（2），至少有一個(gè)，滿足，即. （3）

如果（3）取等號(hào)，則由（2）可知，對于，不但模長皆為2，而且輻角都應(yīng)相等.又利用（2）可知，則，這里，.再利用（1）可以看到次多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)均為0，從而這多項(xiàng)式恒等于0.那么，

. （4）

由于，從而可以知道，，…，是一的次方根.

綜上所述，.

最大值中的最小值達(dá)到時(shí)，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)，，…，所對應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)單位圓的內(nèi)接正邊形的個(gè)頂點(diǎn).