【題目】在時鐘的表盤上作9個
的扇形，每一個都覆蓋4個數(shù)字，每兩個覆蓋的數(shù)字不全相同.求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤.舉一個反例說明，作8個扇形將不具有上述性質(zhì).
【答案】見解析
【解析】
證明1 取所作扇形所覆蓋的第一個數(shù)字（均按順時針方向計算）記為
，
，…，
. ①
由各個扇形覆蓋的數(shù)字不全相同知，上述9個數(shù)字互不相同.因此，鐘面上的12個數(shù)字中，還有3個不在①中，記為
，
，
. ②
這樣，在①中必存在一個數(shù)
，使
關(guān)于模4與，，均不同余，這時數(shù)組
，
，
（其中
）所對應(yīng)的三個扇形恰好蓋住了鐘面上的12個數(shù)字.又由的取法知，
，
，
均不屬于②，即其所對應(yīng)的3個扇形屬于已作的那9個扇形.
證明2 符合條件的扇形共可作12個：
，
其中
，且，
.
將這12個扇形分成四組：
第一組 
，
，
；
第二組 
，
，
；
第三組 
，
，
；
第四組 
，
，
.
每一組都能覆蓋整個表盤.當(dāng)任作9個扇形時，相當(dāng)于從上述4組中取出9個元素，由
知，必存在3個元素屬于同一組，這同一組的三個扇形便覆蓋了整個鐘面.
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【題目】已知函數(shù)
，
．
求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間和極值；
設(shè)
，且
、
是曲線
上的任意兩點，若對任意的
，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍．
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【題目】已知圓
，圓心為點
，點
是圓內(nèi)一個定點，
是圓上任意一點，線段
的垂直平分線
和半徑
相交于點
在圓上運動.
（l）求動點
的軌跡
的方程;
（2）若
為曲線上任意一點，
|的最大值;
（3）經(jīng)過點
且斜率為
的直線交曲線于
兩點在
軸上是否存在定點
，使得
恒成立？若存在，求出點坐標(biāo)：若不存在，說明理由.
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【題目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).
（1）若曲線y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程為y=x，求a、b的值；
（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.
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【題目】已知橢圓
：
（
）的左，右頂點分別為
，
，長軸長為
，且經(jīng)過點
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
為橢圓上異于，的任意一點，證明：直線
，
的斜率的乘積為定值；
（3）已知兩條互相垂直的直線
，
都經(jīng)過橢圓的右焦點
，與橢圓交于
，
和，
四點，求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)
:若存在閉區(qū)間
和常數(shù)e，使得對任意
，都有
，且對任意
，當(dāng)
時，
恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).
（1）判斷函數(shù)
和
是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)
是區(qū)間
上的“平底型”函數(shù)，求m和n的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙二人參加某體育項目訓(xùn)練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.
(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;
(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果,對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.
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【題目】已知平面直角坐標(biāo)系
中，過點
的直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為
與曲線C相交于不同的兩點M，N．
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
(2)若
，求實數(shù)a的值．
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