Question

【題目】在時(shí)鐘的表盤上作9個(gè)的扇形，每一個(gè)都覆蓋4個(gè)數(shù)字，每兩個(gè)覆蓋的數(shù)字不全相同.求證：一定可以找到3個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤.舉一個(gè)反例說明，作8個(gè)扇形將不具有上述性質(zhì).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

證明1 取所作扇形所覆蓋的第一個(gè)數(shù)字（均按順時(shí)針方向計(jì)算）記為

，，…，. ①

由各個(gè)扇形覆蓋的數(shù)字不全相同知，上述9個(gè)數(shù)字互不相同.因此，鐘面上的12個(gè)數(shù)字中，還有3個(gè)不在①中，記為，，. ②

這樣，在①中必存在一個(gè)數(shù)，使關(guān)于模4與，，均不同余，這時(shí)數(shù)組，，

（其中）所對(duì)應(yīng)的三個(gè)扇形恰好蓋住了鐘面上的12個(gè)數(shù)字.又由的取法知，，，均不屬于②，即其所對(duì)應(yīng)的3個(gè)扇形屬于已作的那9個(gè)扇形.

證明2 符合條件的扇形共可作12個(gè)：

，

其中，且，.

將這12個(gè)扇形分成四組：

第一組 ，，；

第二組 ，，；

第三組 ，，；

第四組 ，，.

每一組都能覆蓋整個(gè)表盤.當(dāng)任作9個(gè)扇形時(shí)，相當(dāng)于從上述4組中取出9個(gè)元素，由知，必存在3個(gè)元素屬于同一組，這同一組的三個(gè)扇形便覆蓋了整個(gè)鐘面.