Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求點(diǎn)處的切線方程；（2），

即分析的符號(hào)情況，先抓二次項(xiàng)系數(shù)，進(jìn)而分析拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

又，

所以曲線在處的切線方程為：，即；

（2），

令，

①當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口方向向下，

其圖象對(duì)稱軸，且，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，其圖象對(duì)稱軸.

，其圖象與軸正半軸交點(diǎn)為，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.